6. По графику зависимости скорости движения тела от времени построить графики зависимости aₓ(t), Sₓ(t).

С графика скорости: точки изменения движения — \((0;2)\), \((1;0)\), \((2;-2)\), затем скорость постоянна до \(t=4\) с, после чего растёт линейно до \((7;1)\). Следовательно,

\[v_x(t)=\begin{cases}2-2t,&0\le t\le2,\\-2,&2\le t\le4,\ -6,&4\le t\le7.\end{cases}\]

Ускорение — наклон графика скорости:

\[a_x(t)=\begin{cases}-2,&0\le t<2,\\0,&2<t<4,\\1,&4<t\le7.\end{cases}\]

В точках \(t=2\) и \(t=4\) ускорение меняется скачком; его значение непосредственно в момент излома не задаётся идеализированным графиком.

Полагая \(S_x(0)=0\), интегрируем скорость на каждом участке. На первом участке \(S_x=2t-t^2\), поэтому \(S_x(2)=0\). На втором участке \(S_x=-2(t-2)\), поэтому \(S_x(4)=-4\). На третьем участке добавляем перемещение от момента \(t=4\):

\[S_x(t)=\begin{cases}2t-t^2,&0\le t\le2,\\-2(t-2),&2\le t\le4,\\-4-2(t-4)+\dfrac{(t-4)^2}{2},&4\le t\le7.\end{cases}\]

Для построения графика \(a_x(t)\): горизонтальные участки на уровнях −2 м/с² (до 2 с), 0 (от 2 до 4 с) и 1 м/с² (после 4 с). График \(S_x(t)\) проходит через точки \((0;0)\), \((1;1)\), \((2;0)\), \((4;-4)\), \((6;-6)\), \((7;-5{,}5)\); на первом и последнем участках это параболы, на среднем — прямая.

Ответ: зависимости ускорения и координаты заданы приведёнными кусочными функциями.