6. Построить график функции y = -x² - 2x - 3. Найти по графику промежутки возрастания и убывания функции.

Решение:

График функции \( y = -x^2 - 2x - 3 \) — это парабола.

1. Направление ветвей: Так как коэффициент при \( x^2 \) равен -1 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы: Координата \( x \) вершины вычисляется по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \). В данном случае \( a = -1 \) и \( b = -2 \). \[ x_в = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1 \] Найдем координату \( y \) вершины, подставив \( x_в = -1 \) в уравнение функции: \( y_в = -(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2 \). Вершина параболы находится в точке \( (-1; -2) \).
3. Точки пересечения с осями:
• С осью \( Oy \): при \( x = 0 \), \( y = -(0)^2 - 2(0) - 3 = -3 \). Точка пересечения: \( (0; -3) \).
• С осью \( Ox \): при \( y = 0 \), \( -x^2 - 2x - 3 = 0 \). Умножим на -1: \( x^2 + 2x + 3 = 0 \). Найдём дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \). Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней, значит, парабола не пересекает ось \( Ox \).
• Дополнительные точки:
• При \( x = -2 \): \( y = -(-2)^2 - 2(-2) - 3 = -4 + 4 - 3 = -3 \). Точка \( (-2; -3) \).
• При \( x = -3 \): \( y = -(-3)^2 - 2(-3) - 3 = -9 + 6 - 3 = -6 \). Точка \( (-3; -6) \).

Промежутки возрастания и убывания:

• Функция возрастает, когда \( x \) уменьшается до вершины параболы.
• Функция убывает, когда \( x \) увеличивается от вершины параболы.

Ответ: Функция возрастает на промежутке \( (-\infty; -1) \) и убывает на промежутке \( (-1; +\infty) \).