6. Постройте график функции $$ y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases} $$

Решение:

Для построения графика этой кусочно-заданной функции, построим каждую часть отдельно.

1. Функция $$y = x^2$$ при $$x \le 1$$

Это часть параболы. Вычислим несколько точек:

• При $$x = 1$$: $$y = 1^2 = 1$$. Точка $$(1, 1)$$.
• При $$x = 0$$: $$y = 0^2 = 0$$. Точка $$(0, 0)$$.
• При $$x = -1$$: $$y = (-1)^2 = 1$$. Точка $$(-1, 1)$$.
• При $$x = -2$$: $$y = (-2)^2 = 4$$. Точка $$(-2, 4)$$.

2. Функция $$y = \frac{1}{x}$$ при $$x > 1$$

Это часть гиперболы. Вычислим несколько точек:

• При $$x = 1$$ (предельное значение, не включается): $$y = \frac{1}{1} = 1$$. Точка приближается к $$(1, 1)$$ сверху.
• При $$x = 2$$: $$y = \frac{1}{2} = 0.5$$. Точка $$(2, 0.5)$$.
• При $$x = 3$$: $$y = \frac{1}{3} \approx 0.33$$. Точка $$(3, 0.33)$$.

Теперь объединим эти части на одном графике.

Ответ: График состоит из части параболы $$y=x^2$$ для $$x \le 1$$ и части гиперболы $$y=\frac{1}{x}$$ для $$x>1$$.