6. Постройте на координатной плоскости точки А, В, С и D, если A(0;4), В(6;-2), C(7;3), D(-3;-2). Определите координату точки пересечения прямых АВ и CD.

Задание 6. Построение точек и нахождение точки пересечения прямых

Сначала построим точки на координатной плоскости:

• A(0;4): точка на оси Y.


• B(6;-2): 6 единиц вправо по оси X, 2 единицы вниз по оси Y.


• C(7;3): 7 единиц вправо по оси X, 3 единицы вверх по оси Y.


• D(-3;-2): 3 единицы влево по оси X, 2 единицы вниз по оси Y.

Теперь найдем уравнения прямых AB и CD.

1. Уравнение прямой AB.

Общее уравнение прямой: \( y = kx + b \).

Подставим координаты точки A(0;4):

\[ 4 = k \cdot 0 + b \]

\[ b = 4 \]

Теперь подставим координаты точки B(6;-2) и найденное значение b:

\[ -2 = k \cdot 6 + 4 \]

\[ -2 - 4 = 6k \]

\[ -6 = 6k \]

\[ k = -1 \]

Уравнение прямой AB: \( y = -x + 4 \).

2. Уравнение прямой CD.

Подставим координаты точки C(7;3):

\[ 3 = k \cdot 7 + b \]

\[ 3 = 7k + b \]

Подставим координаты точки D(-3;-2):

\[ -2 = k \cdot (-3) + b \]

\[ -2 = -3k + b \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} 7k + b = 3 \\ -3k + b = -2 \end{cases} \]

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить b:

\[ (7k + b) - (-3k + b) = 3 - (-2) \]

\[ 7k + b + 3k - b = 3 + 2 \]

\[ 10k = 5 \]

\[ k = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим значение k в любое из уравнений, например, в первое:

\[ 7 \cdot \frac{1}{2} + b = 3 \]

\[ \frac{7}{2} + b = 3 \]

\[ b = 3 - \frac{7}{2} = \frac{6}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{1}{2} \]

Уравнение прямой CD: \( y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \).

3. Нахождение точки пересечения.

Чтобы найти точку пересечения, приравняем уравнения прямых:

\[ -x + 4 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \]

Перенесем члены с 'x' влево, а числа вправо:

\[ -x - \frac{1}{2}x = -\frac{1}{2} - 4 \]

\[ -\frac{3}{2}x = -\frac{1}{2} - \frac{8}{2} \]

\[ -\frac{3}{2}x = -\frac{9}{2} \]

Умножим обе части на \(-\frac{2}{3}\):

\[ x = -\frac{9}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) \]

\[ x = 3 \]

Теперь найдем y, подставив x = 3 в любое из уравнений прямой. Используем уравнение AB: \( y = -x + 4 \).

\[ y = -3 + 4 \]

\[ y = 1 \]

Точка пересечения прямых AB и CD имеет координаты (3;1).