6. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: а) \(\sqrt[8]{x+8}\); б) \(\sqrt[7]{y-2}\); в) \(\sqrt[4]{b(b-3)}\); г) \(\sqrt[6]{a^2-a-30}\)?

Корни чётной степени определены, когда подкоренное выражение неотрицательно; корни нечётной степени определены при любых действительных подкоренных выражениях.

а) \(x+8\ge0\), поэтому \(x\ge-8\).

б) Корень нечётной степени определён при любом действительном \(y\).

в) \(b(b-3)\ge0\). Нули множителей: 0 и 3. Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями, значит \(b\le0\) или \(b\ge3\).

г) \(a^2-a-30=(a-6)(a+5)\). Условие \((a-6)(a+5)\ge0\) выполняется при \(a\le-5\) или \(a\ge6\).

Ответ: а) \(x\ge-8\); б) любое действительное \(y\); в) \(b\in(-\infty,0]\cup[3,+\infty)\); г) \(a\in(-\infty,-5]\cup[6,+\infty)\).