6*. Прямая ВК касается окружности с центром О в точке В. Найдите радиус окружности, если ОК = \( 4\sqrt{10} \), \( \operatorname{tg} OKB = \frac{1}{3} \).

Решение:

Дано: Окружность с центром О, точка касания В. ВК — касательная. \( ОК = 4\sqrt{10} \), \( \operatorname{tg} OKB = \frac{1}{3} \).

Найти: Радиус окружности OB.

Поскольку ВК — касательная к окружности в точке В, радиус OB перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle OBK = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник OBK:

• OB — радиус окружности (катет).
• BK — отрезок касательной (катет).
• OK — гипотенуза.

Из условия известно \( \operatorname{tg} OKB = \frac{1}{3} \). В прямоугольном треугольнике OBK:

\( \operatorname{tg} OKB = \frac{OB}{BK} \)

\( \frac{1}{3} = \frac{OB}{BK} \) → \( BK = 3 \cdot OB \).

По теореме Пифагора для \( \triangle OBK \):

\( OB^2 + BK^2 = OK^2 \)

Подставим \( BK = 3 \cdot OB \) и \( OK = 4\sqrt{10} \):

\( OB^2 + (3 \cdot OB)^2 = (4\sqrt{10})^2 \)

\( OB^2 + 9 \cdot OB^2 = 16 \cdot 10 \)

\( 10 \cdot OB^2 = 160 \)

\( OB^2 = \frac{160}{10} = 16 \)

\( OB = \sqrt{16} = 4 \).

Радиус окружности равен 4.

Ответ: 4.