6. Пусть a, b, c > 0. Известно, что каждый из двух трёхчленов ax² + bx + c, bx² + cx + a имеет два различных действительных корня. Докажите, что трёхчлен cx² + ax + b не имеет действительных корней.

Условия существования двух различных действительных корней дают положительность дискриминантов:

\(b^2-4ac>0\), \(c^2-4ab>0\).

Перемножим неравенства. Так как \(b,c>0\), получим \(bc>16a^2\).

Из первого неравенства \(c<b^2/(4a)\), а из второго \(c>2\sqrt{ab}\). Следовательно, \(2\sqrt{ab}<b^2/(4a)\), откуда, возведя обе части в квадрат и разделив на положительное число, получаем \(b^3>64a^3\), то есть \(b>4a\).

Дискриминант трёхчлена \(cx^2+ax+b\) равен \(a^2-4bc\). Из \(b>4a\) и \(c>0\) следует \(4bc>16ac>a^2\). Значит, \(a^2-4bc<0\), и действительных корней нет.