6. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 12,3 см. Найдите сторону треугольника и его площадь.

Решение:

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности \( r \) и радиус описанной окружности \( R \) связаны со стороной \( a \) соотношениями:

\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = 2r \]

Нам дан радиус вписанной окружности \( r = 12.3 \) см.

1. Найдём сторону треугольника (a):

Из формулы \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \) выразим \( a \):

\[ a = 2r\sqrt{3} \]

Подставим значение \( r \):

\[ a = 2 \cdot 12.3 \cdot \sqrt{3} = 24.6\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Найдём площадь треугольника (S):

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).

Подставим найденное значение \( a \):

\[ S = \frac{(24.6\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \]

\[ S = \frac{24.6^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} \]

\[ S = \frac{605.16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} \]

\[ S = \frac{1815.48 \sqrt{3}}{4} \]

\[ S = 453.87\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Сторона треугольника \( a = 24.6\sqrt{3} \) см; Площадь \( S = 453.87\sqrt{3} \) см².