6. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 12,3 см. Найдите сторону треугольника и его площадь.

Пошаговое решение:

1. Радиус вписанной окружности \( r \) в правильный треугольник со стороной \( a \) вычисляется по формуле: \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
2. Подставляем данное значение радиуса \( r = 12.3 \) см: \( 12.3 = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
3. Находим сторону \( a \): \( a = 12.3 \cdot 2\sqrt{3} = 24.6\sqrt{3} \) см.
4. Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) вычисляется по формуле: \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
5. Подставляем найденное значение \( a \): \( S = \frac{(24.6\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{24.6^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} \).
6. Вычисляем: \( 24.6^2 = 605.16 \).
   \( S = \frac{605.16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{1815.48 \sqrt{3}}{4} = 453.87\sqrt{3} \) см².

Ответ: Сторона \( a = 24.6\sqrt{3} \) см, площадь \( S = 453.87\sqrt{3} \) см².