6) Расстояние между пристанями A и B равно 80 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправился катер, который, прибыв в пункт B, тотчас повернул обратно и возвратился в A. К этому времени плот проплыл 22 км. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Плот движется со скоростью течения — 2 км/ч. За время до возвращения катера в A он прошёл 22 км, значит, прошло \(22:2=11\) часов с момента отправления плота.

Катер отправился на 2 часа позже, поэтому был в пути \(11-2=9\) часов. Пусть \(v\) — его скорость в стоячей воде, км/ч. Тогда скорость по течению равна \(v+2\), а против течения — \(v-2\).

Катер прошёл 80 км по течению и 80 км против течения. Составим уравнение:

\(\frac{80}{v+2}+\frac{80}{v-2}=9\), где \(v>2\).

Умножим на \((v+2)(v-2)\): \(80(v-2)+80(v+2)=9(v^2-4)\).

После упрощения: \(9v^2-160v-36=0\). Отсюда \(v=18\) или \(v=-\frac{2}{9}\). Отрицательная скорость не подходит.

Проверка: по течению катер шёл \(80:20=4\) часа, против течения — \(80:16=5\) часов; всего 9 часов.

Ответ: 18 км/ч.