6. Решить неравенства: a) $$3(x-1) > 5x$$ б) $$(x+1)(x-3) \ge 0$$

Решение:

1. а) Решение линейного неравенства:

   Раскроем скобки:

   \[ 3x - 3 > 5x \]

   Перенесем члены с $$x$$ в одну сторону, а константы — в другую:

   \[ -3 > 5x - 3x \]

   \[ -3 > 2x \]

   Разделим обе части на 2 (знак неравенства не меняется, так как делим на положительное число):

   \[ \frac{-3}{2} > x \]

   \[ -1,5 > x \]

   Это означает, что $$x$$ меньше -1,5.

2. б) Решение квадратного неравенства:

   Неравенство $$(x+1)(x-3) \ge 0$$ выполняется, когда оба множителя имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные) или когда один из них равен нулю.

   Найдем корни уравнения $$(x+1)(x-3) = 0$$. Корни: $$x = -1$$ и $$x = 3$$.

   Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $$(-\infty, -1)$$, $$[-1, 3]$$ и $$(3, \infty)$$.

   Проверим знак выражения в каждом интервале:

   • Интервал $$(-\infty, -1)$$: Возьмем $$x = -2$$. $$(-2+1)(-2-3) = (-1)(-5) = 5 > 0$$.
   • Интервал $$[-1, 3]$$: Возьмем $$x = 0$$. $$(0+1)(0-3) = (1)(-3) = -3 < 0$$.
   • Интервал $$(3, \infty)$$: Возьмем $$x = 4$$. $$(4+1)(4-3) = (5)(1) = 5 > 0$$.

   Нам нужны значения, где выражение $$\ge 0$$, то есть положительные или равные нулю. Это интервалы $$(-\infty, -1]$$ и $$[3, \infty)$$.

Ответ: а) $$x < -1,5$$, б) $$x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$$