6. Решить задачу: Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приехал на 1 час раньше. Найти скорость первого и второго автомобилей, если расстояние между городами 50 км.

Пусть скорость более медленного автомобиля равна \(v\) км/ч; тогда скорость более быстрого — \(v+10\) км/ч. Время в пути каждого автомобиля равно расстоянию, делённому на скорость. Быстрый автомобиль ехал на 1 час меньше:

\(\frac{50}{v}-\frac{50}{v+10}=1\).

Умножим уравнение на \(v(v+10)\): \(50(v+10)-50v=v(v+10)\).

Получаем \(v^2+10v-500=0\). Тогда \(v=\frac{-10\pm\sqrt{2100}}{2}=-5\pm5\sqrt{21}\). Отрицательная скорость не подходит, поэтому медленный автомобиль ехал со скоростью \(-5+5\sqrt{21}\approx17.91\) км/ч.

Скорость более быстрого автомобиля: \(v+10=5+5\sqrt{21}\approx27.91\) км/ч. Поскольку в условии не указано, какой из них назван первым, можно определить только скорости более медленного и более быстрого автомобилей.

Ответ: более медленный — \(5\sqrt{21}-5\) км/ч (примерно 17.91 км/ч); более быстрый — \(5\sqrt{21}+5\) км/ч (примерно 27.91 км/ч).