6. Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3^x\cdot2^y=12,\\2^{y+1}-3^x=5.\end{cases}\)

Обозначим \(a=3^x\), \(b=2^y\). Тогда система принимает вид \(ab=12\), \(2b-a=5\).

Из второго уравнения \(a=2b-5\). Подставим в первое: \((2b-5)b=12\), откуда \(2b^2-5b-12=0\).

Факторизация даёт \((2b+3)(b-4)=0\). Поскольку \(b=2^y>0\), получаем \(b=4\), а значит, \(a=2\cdot4-5=3\).

Следовательно, \(2^y=4\), поэтому \(y=2\); также \(3^x=3\), поэтому \(x=1\). Проверка: \(3\cdot4=12\) и \(8-3=5\).

Ответ: \((x;y)=(1;2)\).