6. Решите уравнение 2 \(\cdot\) 36^x + 5 \(\cdot\) 6^x - 7 = 0.

Решение:

Заметим, что \( 36^x = (6^2)^x = (6^x)^2 \).

Введём замену переменной \( y = 6^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 + 5y - 7 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение для \( y \). Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 \]

Найдём корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( y = 6^x \).

1. \( 6^x = 1 \). Так как \( 6^0 = 1 \), то \( x = 0 \).

2. \( 6^x = -\frac{7}{2} \). Показательная функция \( 6^x \) всегда положительна, поэтому это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 0.