8. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций f(x) = 3^(x+1) - 2 \(\cdot\) 3^(1-x) и g(x) = 7.

Решение:

Чтобы найти абсциссы точек пересечения, приравняем функции:

\[ 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{1-x} = 7 \]

Используем свойства степеней \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \) и \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \):

\[ 3^x \cdot 3^1 - 2 \cdot \frac{3^1}{3^x} = 7 \]

\[ 3 \cdot 3^x - \frac{6}{3^x} = 7 \]

Введём замену переменной \( y = 3^x \). Так как \( 3^x \) всегда положительно, \( y > 0 \).

\[ 3y - \frac{6}{y} = 7 \]

Умножим обе части на \( y \) (так как \( y \neq 0 \)):

\[ 3y^2 - 6 = 7y \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ 3y^2 - 7y - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение для \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 \]

\[ \sqrt{D} = 11 \]

Найдём корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \]

Так как \( y > 0 \), подходит только \( y = 3 \).

Вернёмся к замене \( y = 3^x \):

\[ 3^x = 3 \]

\[ x = 1 \]

Ответ: x = 1.