6 Решите уравнение √22х - 24 = 2х. Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите наименьший из них.

Привет! Давай решим это уравнение с квадратным корнем. Наша главная задача — избавиться от корня и найти значения x.

1. Условие неотрицательности подкоренного выражения:

• Сначала нужно убедиться, что выражение под корнем неотрицательно: 22x - 24 >= 0.
• 22x >= 24
• x >= 24/22
• x >= 12/11

2. Условие неотрицательности правой части:

• Так как квадратный корень всегда неотрицателен, то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: 2x >= 0.
• x >= 0.
• Общее условие для x: x >= 12/11 (так как 12/11 больше 0).

3. Возводим обе части уравнения в квадрат:

• (√{22x - 24})² = (2x)²
• 22x - 24 = 4x²

4. Приводим к квадратному уравнению:

• Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение ax² + bx + c = 0:
• 4x² - 22x + 24 = 0
• Можно упростить, разделив все на 2:
• 2x² - 11x + 12 = 0

5. Решаем квадратное уравнение (через дискриминант):

• Дискриминант D = b² - 4ac.
• a = 2, b = -11, c = 12.
• D = (-11)² - 4 * 2 * 12
• D = 121 - 96
• D = 25
• √D = 5

6. Находим корни уравнения:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (11 + 5) / (2 * 2) = 16 / 4 = 4
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (11 - 5) / (2 * 2) = 6 / 4 = 3/2 = 1.5

7. Проверяем корни на соответствие условию x >= 12/11:

• x₁ = 4. 4 >= 12/11 (верно, так как 4 = 44/11).
• x₂ = 1.5. 1.5 >= 12/11 (верно, так как 1.5 = 3/2 = 33/22, а 12/11 = 24/22).

8. Выбираем наименьший корень:

• У нас есть два корня: 4 и 1.5.
• Наименьший из них — 1.5.

Ответ: 1.5