6. Решите уравнение: а) 4ˣ⁺³ − 4ˣ = 63; б) 4ˣ + 2ˣ − 20 = 0; в) (5ˣ⁻⁶)ˣ⁺¹ = 0,2 · 25ˣ⁺⁵.

а) Вынесем 4ˣ за скобки:

4ˣ(4³ − 1) = 63, поэтому 63 · 4ˣ = 63.

Тогда 4ˣ = 1, откуда x = 0.

б) Положим t = 2ˣ, где t > 0. Тогда 4ˣ = t², и уравнение принимает вид t² + t − 20 = 0.

(t + 5)(t − 4) = 0. С учётом t > 0 получаем t = 4, то есть 2ˣ = 4 = 2², поэтому x = 2.

в) Перепишем обе стороны как степени числа 5: (5ˣ⁻⁶)ˣ⁺¹ = 5^(x²−5x−6), а 0,2 · 25ˣ⁺⁵ = 5⁻¹ · 5^(2x+10) = 5^(2x+9).

Основания одинаковы и больше 1, поэтому x² − 5x − 6 = 2x + 9.

x² − 7x − 15 = 0, откуда по формуле корней x = (7 ± √109)/2.

Ответ: а) 0; б) 2; в) (7 − √109)/2 и (7 + √109)/2.