6. Решите уравнение. a) (5x – 2) (5x + 2) – (5x – 1)² = 4; б) 100x² – 16 = 0.

Решение:

• а) (5x – 2) (5x + 2) – (5x – 1)² = 4:
  1. Раскрываем первую часть по формуле разности квадратов: (5x)² - 2² = 25x² - 4.
  2. Раскрываем вторую часть по формуле квадрата разности: (5x - 1)² = (5x)² - 2(5x)(1) + 1² = 25x² - 10x + 1.
  3. Подставляем в уравнение: (25x² - 4) - (25x² - 10x + 1) = 4.
  4. Раскрываем скобки: 25x² - 4 - 25x² + 10x - 1 = 4.
  5. Приводим подобные слагаемые: (25x² - 25x²) + 10x + (-4 - 1) = 4, что дает: 10x - 5 = 4.
  6. Решаем линейное уравнение: 10x = 4 + 5; 10x = 9; x = 9/10 = 0.9.
• б) 100x² – 16 = 0:
  1. Это квадратное уравнение. Можно решить двумя способами:
     • Способ 1 (через разность квадратов): 100x² = (10x)², 16 = 4². Уравнение имеет вид (10x)² - 4² = 0. По формуле разности квадратов: (10x - 4)(10x + 4) = 0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: 10x - 4 = 0 => 10x = 4 => x = 4/10 = 0.4 10x + 4 = 0 => 10x = -4 => x = -4/10 = -0.4
     • Способ 2 (выражая x²): 100x² = 16; x² = 16/100; x² = 0.16. Извлекаем квадратный корень из обеих частей: x = ±√0.16; x = ±0.4.
  2. Объединяем результаты: Оба способа дают одинаковые корни.

Ответ: а) x = 0.9; б) x = 0.4; x = -0.4.