6. Решите уравнение sin πx/6 = 1/2. В ответе запишите наименьший положительный корень.

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение.

Уравнение:

\[ \sin{\left( \frac{\pi x}{6} \right)} = \frac{1}{2} \]

Решение:

Мы знаем, что синус равен 1/2 для углов π/6 и 5π/6 (а также для углов, отличающихся на 2π).

Значит, у нас есть два случая:

1. Случай 1:
   \[ \frac{\pi x}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   Умножим обе части на 6/π:
   \[ x = 1 + 12k \]
2. Случай 2:
   \[ \frac{\pi x}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   Умножим обе части на 6/π:
   \[ x = 5 + 12k \]

Теперь нам нужно найти наименьший положительный корень. Подставим разные значения k (целые числа: ..., -1, 0, 1, ...).

• Из случая 1:
  • Если k = 0, то x = 1 + 12*0 = 1. Это положительный корень.
  • Если k = 1, то x = 1 + 12*1 = 13.
  • Если k = -1, то x = 1 + 12*(-1) = -11.
• Из случая 2:
  • Если k = 0, то x = 5 + 12*0 = 5. Это положительный корень.
  • Если k = 1, то x = 5 + 12*1 = 17.
  • Если k = -1, то x = 5 + 12*(-1) = -7.

Сравнивая все положительные корни (1, 13, 5, 17, ...), наименьшим является 1.

Ответ: 1