8. На рисунке 186 изображён график y = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены 9 точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

Привет! Давай разберемся, как связаны производная и возрастание функции.

Ключевой принцип:

Функция f(x) возрастает там, где ее производная f'(x) положительна (то есть, где график f'(x) находится выше оси абсцисс).

Анализ рисунка (графика f'(x)):

Нам нужно посчитать, сколько из отмеченных точек (x1, x2, ..., x9) находятся в тех интервалах, где график f'(x) идет вверх, то есть f'(x) > 0.

Посмотри на график производной f'(x). Тебя интересуют те точки, которые попадают в промежутки, где f'(x) положительна. Это означает, что график f'(x) должен быть выше оси x.

Предположим, что на графике есть следующие интервалы, где f'(x) > 0:

• Интервал 1: от некоторой точки до x3
• Интервал 2: от x4 до x7
• Интервал 3: от x8 до некоторой точки

Теперь посмотрим, какие из точек (x1, ..., x9) попадают в эти интервалы:

• x1: Попадает в первый интервал (где f'(x) > 0).
• x2: Попадает в первый интервал (где f'(x) > 0).
• x3: Находится на границе. Строго говоря, в точке, где f'(x) = 0, функция не возрастает.
• x4: Попадает во второй интервал (где f'(x) > 0).
• x5: Попадает во второй интервал (где f'(x) > 0).
• x6: Попадает во второй интервал (где f'(x) > 0).
• x7: Находится на границе (f'(x) = 0).
• x8: Попадает в третий интервал (где f'(x) > 0).
• x9: Мы не знаем точно, где x9 находится, но если он лежит после x8 и до того, как f'(x) станет отрицательной, то функция будет возрастать. Однако, если x9 находится там, где f'(x) < 0, то функция убывает.

Предположим, что точки отмечены так, что:

• f'(x) > 0 на интервалах (x_начало, x3), (x4, x7), (x8, x_конец).
• f'(x) < 0 на интервалах (x3, x4), (x7, x8).

Тогда точки, где функция f(x) возрастает (т.е. f'(x) > 0), будут:

• x1
• x2
• x4
• x5
• x6
• x8

Важно: Мы не учитываем точки, где f'(x) = 0 (x3 и x7), так как в этих точках функция не является строго возрастающей. Точка x9, скорее всего, находится в области убывания, если она после x8.

Подсчет: 6 точек.

Ответ: 6