6. Решите уравнение \(x+2x+\ldots+2012x=-2-4-\ldots-4024\).

Слева складываются \(x,2x,\ldots,2012x\), поэтому сумма равна \(x(1+2+\ldots+2012)\). Справа — противоположные числа \(-2,-4,\ldots,-4024\): это \(-2(1+2+\ldots+2012)\).

Следовательно, уравнение имеет вид \(xS=-2S\), где \(S=1+2+\ldots+2012\neq0\). Делим обе части на \(S\): \(x=-2\).

Ответ: \(x=-2\).