6. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,6. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.

Задание 6. Прямоугольник, описанная окружность

Дано:

• Прямоугольник ABCD.
• Синус угла между стороной и диагональю: \( \sin \alpha = 0.6 \).
• Диаметр описанной окружности: \( d = 10 \).

Найти: площадь прямоугольника.

Решение:

1. Диаметр окружности, описанной около прямоугольника, равен диагонали этого прямоугольника. То есть, \( AC = 10 \).


2. Пусть \( \alpha \) — угол между стороной AB и диагональю AC. Тогда \( \sin \alpha = \frac{BC}{AC} \).


3. Мы знаем, что \( \sin \alpha = 0.6 \) и \( AC = 10 \). Найдем сторону BC: \[ BC = AC \cdot \sin \alpha = 10 \cdot 0.6 = 6 \].


4. Теперь найдем сторону AB, используя теорему Пифагора для треугольника ABC: \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]


5. Подставим значения: \[ AB^2 + 6^2 = 10^2 \]


6. \( AB^2 + 36 = 100 \)


7. \( AB^2 = 100 - 36 = 64 \)


8. \( AB = \sqrt{64} = 8 \).


9. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \[ S = AB \cdot BC \]


10. \( S = 8 \cdot 6 = 48 \).

Ответ: 48.