6. Сложная задача. В ромбе ABCD биссектриса угла BDC пересекает сторону BC в точке M. Найдите углы ромба, если DM ⟂ BC.

Так как DM — биссектриса угла BDC, \(\angle CDM=\frac12\angle BDC\). В ромбе диагональ BD делит угол D пополам, поэтому \(\angle BDC=\frac12\angle D\) и \(\angle CDM=\frac14\angle D\).

В треугольнике DMC угол при M прямой, поскольку \(DM\perp BC\), а \(M\in BC\). Кроме того, \(\angle DCM=\angle C\). Тогда:

\(\angle C+\frac14\angle D=90°\).

Соседние углы ромба supplementary: \(\angle C=180°-\angle D\). Подставим:

\(180°-\angle D+\frac14\angle D=90°\), откуда \(\angle D=120°\), а \(\angle C=60°\).

В ромбе противоположные углы равны, поэтому \(\angle B=\angle D\), \(\angle A=\angle C\).

Ответ: \(\angle A=\angle C=60°\), \(\angle B=\angle D=120°\).