6. Сократите дробь: а) \(\frac{\sqrt{10}+5}{2+\sqrt{10}}\); б) \(\frac{x-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-6}\).

а) Заметим, что \(5=(\sqrt5)^2\), но удобнее умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение \(\sqrt{10}-2\):

\(\frac{\sqrt{10}+5}{2+\sqrt{10}}=\frac{(\sqrt{10}+5)(\sqrt{10}-2)}{(2+\sqrt{10})(\sqrt{10}-2)}=\frac{5+3\sqrt{10}}{6}.\)

Дробь не сокращается: множитель \(2+\sqrt{10}\) не является общим множителем числителя и знаменателя.

б) Область определения: \(x\ge0\), \(x\ne9\). Положим \(t=\sqrt{x}\). Тогда

\(\frac{x-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-6}=\frac{t^2-3t}{2t-6}=\frac{t(t-3)}{2(t-3)}=\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{x}}2,\quad x\ne9.\)

Ответ: а) \(\frac{5+3\sqrt{10}}6\); б) \(\frac{\sqrt{x}}2\), где \(x\ge0\), \(x\ne9\).