6. Стороны NK и MK треугольника MNK пересекает прямая в точках C и B соответственно, а продолжение стороны MN за точку M эта прямая пересекает в точке A. Известно, что AM = 5 см, NC в 2 раза длиннее CK, KB : BM = 3 : 2. Найдите длину стороны MN треугольника MNK.

Так как NC = 2CK, то точка C делит NK в отношении 2 : 1.

Из условия KB : BM = 3 : 2, поэтому BM : MK = 2 : 5.

Применим теорему Менелая к треугольнику MNK и секущей ABC:

\(\dfrac{AM}{AN} \cdot \dfrac{NC}{CK} \cdot \dfrac{KB}{BM}=1\).

С учётом направленных отрезков: \(\dfrac{AM}{AN} \cdot 2 \cdot \dfrac{3}{2}=1\), откуда \(AN=3AM=15\) см.

Точка A лежит за M, поэтому \(AN=AM+MN\). Следовательно,

\(MN=AN-AM=15-5=10\) см.

Ответ: 10 см.