7. Медины треугольника ABC пересекаются в точке M. На прямой AC взяли точку N так, что точка C делит отрезок AN в отношении AC:CN = 2:3. В каком отношении прямая MN делит сторону BC треугольника ABC?

Пусть \(AC=2x\), тогда \(CN=3x\), поэтому \(AN=5x\). Следовательно, точка N лежит на продолжении AC за точкой C.

Выберем координаты: \(A(0;0)\), \(C(1;0)\), \(B(0;1)\). Тогда \(N(5/2;0)\), а точка пересечения медиан имеет координаты \(M(1/3;1/3)\).

Пусть \(D=MN\cap BC\). Вычисляя точку пересечения, получаем \(D(8/11;3/11)\).

На стороне BC координата первой компоненты показывает долю пути от B к C, поэтому

\(BD:DC=8/11:3/11=8:3\).

Ответ: 8 : 3.