6. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 3, а сумма её первых четырёх членов — 80. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Для бесконечной убывающей геометрической прогрессии сумма равна \(S=\frac{b_1}{1-q}\), где \(|q|<1\). По условию \(S=3\), поэтому \(b_1=3(1-q)\).

Сумма первых четырёх членов: \(S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}=80\). Так как \(\frac{b_1}{1-q}=3\), получаем \(3(1-q^4)=80\), откуда \(q^4=-\frac{77}{3}\). Это невозможно для действительного \(q\), поскольку \(q^4\ge 0\). Кроме того, сумма первых четырёх членов не может по модулю превышать сумму бесконечного ряда при этих исходных данных указанным образом.

Ответ: такой действительной бесконечной убывающей геометрической прогрессии не существует; вероятно, в условии опечатка.