8. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 3, а сумма её первых пяти членов равна 1. Найдите первый член прогрессии.

Пусть первый член равен \(b_1\), а знаменатель — \(q\), где \(|q|<1\). По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии \(\frac{b_1}{1-q}=3\), следовательно, \(b_1=3(1-q)\).

Для первых пяти членов \(S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}=3(1-q^5)=1\). Значит, \(q^5=\frac{2}{3}\), откуда \(q=\sqrt[5]{\frac{2}{3}}\). Тогда

\(b_1=3\left(1-\sqrt[5]{\frac{2}{3}}\right)\approx 0.217\).

Ответ: \(b_1=3\left(1-\sqrt[5]{\frac{2}{3}}\right)\approx 0.217\).