6. Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 ч. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 3 км/ч.

Пусть \(v\) км/ч — собственная скорость теплохода. Тогда скорость по течению равна \(v+3\), а против течения — \(v-3\). Составим уравнение по времени движения:

\(\frac{108}{v+3}+\frac{84}{v-3}=8\), где \(v>3\).

Умножим на \((v+3)(v-3)\):

\(108(v-3)+84(v+3)=8(v^2-9)\).

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(192v-72=8v^2-72\),

\(8v(v-24)=0\).

Получаем \(v=0\) или \(v=24\). Условию \(v>3\) соответствует только \(v=24\). Проверка: \(108/27+84/21=4+4=8\) ч.

Ответ: собственная скорость теплохода — 24 км/ч.