6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, принадлежащих одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 37. Найдите его большую сторону.

Соседние углы параллелограмма в сумме равны 180°, поэтому их биссектрисы перпендикулярны. Их точка пересечения лежит на противоположной стороне, параллельной стороне, к которой прилежат эти углы.

Обозначим длину этой стороны через \(a\), а длину другой стороны — через \(b\). Расстояние между параллельными сторонами равно высоте \(h\), опущенной к стороне длины \(a\). Угол между биссектрисами прямой, а точка пересечения находится на противоположной стороне; из прямоугольных треугольников при вершинах следует, что горизонтальные проекции вдоль стороны \(a\) равны соответственно \(h\) и \(h\). Следовательно, \(a=2h\), тогда как \(b\) — наклонная сторона соответствующего прямоугольного треугольника, поэтому \(b>h\), но длина \(a\) не определяется только по известной меньшей стороне без дополнительного условия о наклоне.

В действительности условие о принадлежности противоположной стороне даёт \(a=b\): точка пересечения биссектрис находится на расстоянии от первой вершины, равном длине боковой стороны, и на противоположной стороне это возможно при равенстве сторон. Значит параллелограмм является ромбом, и его стороны равны.

Ответ: 37.