6. Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные меры которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол С четырехугольника ABCD. 7. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 72°. Найдите угол АВС между этой хордой и касательно к окружности, проведенной через точку В.

Задание 6. Угол четырехугольника ABCD

Дано:

• Точки A, B, C, D на окружности.
• Градусные меры дуг AB:BC:CD:AD = 4:2:3:6.

Найти: угол C четырехугольника ABCD.

Решение:

1. Общая градусная мера окружности равна 360°.
2. Найдем коэффициент пропорциональности, сложив части отношения: \( 4 + 2 + 3 + 6 = 15 \).
3. Разделим 360° на 15, чтобы найти градусную меру одной части: \( \frac{360^\circ}{15} = 24^\circ \).
4. Найдем градусные меры дуг:
   • Дуга AB = \( 4 \cdot 24^\circ = 96^\circ \)
   • Дуга BC = \( 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ \)
   • Дуга CD = \( 3 \cdot 24^\circ = 72^\circ \)
   • Дуга AD = \( 6 \cdot 24^\circ = 144^\circ \)
5. Угол C четырехугольника ABCD является вписанным и опирается на дугу ABD.
6. Градусная мера дуги ABD равна сумме дуг AB и AD: \( \text{Дуга ABD} = \text{Дуга AB} + \text{Дуга AD} = 96^\circ + 144^\circ = 240^\circ \).
7. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

\[ \text{Угол C} = \frac{\text{Дуга ABD}}{2} = \frac{240^\circ}{2} = 120^\circ \]

Ответ: 120°

Задание 7. Угол между хордой и касательной

Дано:

• Хорда AB стягивает дугу окружности в 72°.
• Касательная проведена к точке B.

Найти: угол ABC между хордой AB и касательной.

Решение:

Угол между хордой и касательной, проведенной к окружности в точке пересечения, равен половине градусной меры дуги, которую стягивает эта хорда.

Дуга, которую стягивает хорда AB, равна 72°.

\[ \text{Угол ABC} = \frac{1}{2} \cdot \text{Дуга AB} \]

Подставим значение дуги:

\[ \text{Угол ABC} = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ \]

Ответ: 36°