№ 6. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(5\sqrt{2}\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Обозначим радиус основания через \(r\). По условию высота цилиндра и конуса равна \(r\).

1. Из формулы боковой площади цилиндра получаем: \(2\pi r\cdot r=5\sqrt{2}\), поэтому \(\pi r^2=\frac{5\sqrt{2}}{2}\).
2. Образующая конуса равна \(l=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}\).
3. Тогда площадь боковой поверхности конуса: \(S=\pi r l=\pi r^2\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=5\).

Ответ: 5.