6. Углы треугольника ABC относятся так: ∠A:∠B:∠C=1:2:3. Биссектриса BM угла ABC равна 24. Найдите отрезок MC.

Пусть углы треугольника равны \(x\), \(2x\), \(3x\). Тогда

\(x+2x+3x=180^\circ\), поэтому \(x=30^\circ\).

Следовательно, \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=60^\circ\), \(\angle C=90^\circ\).

Биссектриса \(BM\) делит угол \(B\) пополам, значит \(\angle ABM=\angle MBC=30^\circ\). Так как \(\angle A=\angle ABM\), треугольник \(ABM\) равнобедренный, поэтому \(AM=BM=24\).

В прямоугольном треугольнике \(BMC\) угол \(MBC=30^\circ\), а гипотенуза \(BC\) лежит напротив угла \(A=30^\circ\) в треугольнике ABC. Используя теорему о биссектрисе или соотношения сторон, получаем \(MC=12\).

Ответ: 12.