4. Стороны AC и BC треугольника ABC равны. Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 54°. Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.

Задание 4. Треугольник ABC

Дано:

• Треугольник ABC, где AC = BC (треугольник равнобедренный).
• CM — биссектриса внешнего угла BCD.
• Угол MCD = 54°.

Найти: Угол BAC.

Решение:

1. Так как CM — биссектриса внешнего угла BCD, то угол BCD равен удвоенному углу MCD:

\[ \angle BCD = 2 \cdot \angle MCD = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ \]

2. Угол ACB является смежным с внешним углом BCD. Сумма смежных углов равна 180°, поэтому:

\[ \angle ACB = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \]

3. Так как в треугольнике ABC стороны AC и BC равны, то он является равнобедренным. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Значит, угол BAC равен углу ABC:

\[ \angle BAC = \angle ABC \]

4. Сумма углов в треугольнике равна 180°. В нашем случае:

\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \]

Заменим \( \angle ABC \) на \( \angle BAC \) и подставим значение \( \angle ACB \):

\[ \angle BAC + \angle BAC + 72^\circ = 180^\circ \]

\[ 2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 72^\circ \]

\[ 2 \cdot \angle BAC = 108^\circ \]

\[ \angle BAC = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ \]

Ответ: 54