6. Углы треугольника АВС относятся так: ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Биссектриса BM угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС.

Решение:

Пусть \( ∠A = x \), \( ∠B = 2x \), \( ∠C = 3x \).

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

\( x + 2x + 3x = 180^\circ \) \( 6x = 180^\circ \) \( x = 30^\circ \).

Таким образом, углы треугольника равны:

\( ∠A = 30^\circ \) \( ∠B = 2 · 30^\circ = 60^\circ \) \( ∠C = 3 · 30^\circ = 90^\circ \).

Треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом C.

BM — биссектриса угла ABC. Она делит угол B пополам:

\( ∠ABM = ∠MBC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).

Рассмотрим треугольник BCM. У него углы:

\( ∠MBC = 30^\circ \) \( ∠BCM = 90^\circ \).

Сумма углов в треугольнике BCM равна 180°.

\( ∠BMC = 180^\circ - (30^\circ + 90^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

В треугольнике BCM, угол MBC = 30°, а угол BCM = 90°.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. Углы:

\( ∠ABM = 30^\circ \) \( ∠BAM = 30^\circ \).

Следовательно, треугольник ABM — равнобедренный, с основанием AM. Значит, \( AB = BM = 6 \).

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику ABC. Мы знаем, что \( AB = 6 \) (гипотенуза) и \( ∠B = 60^\circ \).

Найдем длину катета MC, который противолежит углу B (60°), а угол A = 30°.

В прямоугольном треугольнике, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. \( AC \) противолежит углу B (60°). \( MC \) противолежит углу \( ∠BMC \).

В прямоугольном треугольнике ABC, \( AC = AB · · \sin(60^\circ) = 6 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \).

\( BC = AB · \cos(60^\circ) = 6 · \frac{1}{2} = 3 \).

Теперь рассмотрим треугольник BCM. Он прямоугольный с \( ∠C = 90^\circ \), \( ∠MBC = 30^\circ \), \( BC = 3 \).

Найдем MC. В прямоугольном треугольнике BCM, катет MC противолежит углу 30° (\( ∠MBC \)). Следовательно, \( MC = \frac{1}{2} BC \).

\( MC = \frac{1}{2} · 3 = 1.5 \).

Ответ: 1.5.