6. Угол при основании равнобокой трапеции равен 120°. Прямая, которая проходит через вершину тупого угла и параллельна боковой стороне, делит большее основание на отрезки 5 см и 7 см. Найдите периметр трапеции. Сколько решений имеет задача?

Большее основание состоит из отрезков 5 см и 7 см, поэтому его длина равна 12 см. Рассмотрим вершину тупого угла, через которую проведена прямая. Из-за равнобокости трапеции и параллельности проведённой прямой боковой стороне отрезок большего основания, отсекаемый у противоположного конца, равен меньшему основанию. Поэтому возможны два случая: меньшее основание равно 5 см или 7 см.

1. Меньшее основание 5 см. Второй отрезок основания равен 7 см. Угол между боковой стороной и основанием равен 60° (смежный с углом 120°), поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна половине её длины. Боковая сторона равна \(2\cdot7=14\) см. Периметр: \(12+5+14+14=45\) см.
2. Меньшее основание 7 см. Второй отрезок основания равен 5 см. Боковая сторона равна \(2\cdot5=10\) см. Периметр: \(12+7+10+10=39\) см.

Оба случая геометрически возможны, следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 39 см или 45 см; два решения.