6. Упростить \(\left(\dfrac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}-\dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\cdot\left(\dfrac{y}{x}\right)^{-1/2}\) при \(x>0, y>0\).

Question

Вопрос:

6. Упростить \(\left(\dfrac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}-\dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\cdot\left(\dfrac{y}{x}\right)^{-1/2}\) при \(x>0, y>0\).

Accepted Answer

В первом знаменателе вынесем \(x^{1/2}\): \(x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}=x^{1/2}(x^{1/4}+y^{1/4})\). Также \(x-y=(x^{1/2}-y^{1/2})(x^{1/2}+y^{1/2})\).

Поэтому выражение в скобках равно \(\dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\left(\dfrac{x^{1/2}+y^{1/2}}{x^{1/2}}-1\right)=\dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\cdot\dfrac{y^{1/2}}{x^{1/2}}\).

Так как \(\left(\dfrac{y}{x}\right)^{-1/2}=\dfrac{x^{1/2}}{y^{1/2}}\), множители сокращаются. Остаётся \(\dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}=x^{1/4}-y^{1/4}\), поскольку разность квадратов равна \((x^{1/4}-y^{1/4})(x^{1/4}+y^{1/4})\).

Ответ: \(x^{1/4}-y^{1/4}\).