6. Упростить \(\left(\dfrac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}-\dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\left(\dfrac{y}{x}\right)^{-1/2}\) при \(x>0, y>0\).

Question

Вопрос:

6. Упростить \(\left(\dfrac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}-\dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\left(\dfrac{y}{x}\right)^{-1/2}\) при \(x>0, y>0\).

Accepted Answer

В первом знаменателе вынесем \(x^{1/2}\): \(x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}=x^{1/2}(x^{1/4}+y^{1/4})\). Также \(x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})\).

Тогда выражение в скобках равно

\[\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}}-1\right)=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\sqrt{\frac{y}{x}}.\]

Умножение на \(\left(\frac{y}{x}\right)^{-1/2}=\sqrt{\frac{x}{y}}\) сокращает последний множитель.

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}\).