6. Упростить \(\left(\frac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}-\frac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\left(\frac yx\right)^{-1/2}\) при \(x>0, y>0\).

Положим \(A=x^{1/4}\), \(B=y^{1/4}\). Тогда \(x=A^4\), \(y=B^4\).

Первую дробь преобразуем, разложив разность четвёртых степеней и сократив общий множитель:

\[\frac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}=\frac{A^4-B^4}{A^3+A^2B}=\frac{(A-B)(A+B)(A^2+B^2)}{A^2(A+B)}=\frac{(A-B)(A^2+B^2)}{A^2}.\]

Вторая дробь равна \(\frac{A^2-B^2}{A+B}=A-B\). Поэтому разность в скобках равна \((A-B)\frac{B^2}{A^2}\).

Так как \(\left(\frac yx\right)^{-1/2}=\frac{A^2}{B^2}\), всё выражение равно \(A-B=x^{1/4}-y^{1/4}\).

Ответ: \(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}\).