6. Упростить \(\left(\frac{x-y}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}}-\frac{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}\right)\left(\frac{y}{x}\right)^{-\frac{1}{2}}\) при \(x>0, y>0\).

Question

Вопрос:

Фото задания

6. Упростить \(\left(\frac{x-y}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}}-\frac{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}\right)\left(\frac{y}{x}\right)^{-\frac{1}{2}}\) при \(x>0, y>0\).

Accepted Answer

В первом знаменателе выносим \(x^{1/2}\):

\(x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}=x^{1/2}(x^{1/4}+y^{1/4})\).

Обозначим \(S=x^{1/4}+y^{1/4}\). Используем \(x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})\):

\(\frac{x-y}{x^{1/2}S}-\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{S}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{S}\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}}-1\right)=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{S}\cdot\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\).

Так как \(x,y>0\), \(\left(\frac{y}{x}\right)^{-1/2}=\sqrt{\frac{x}{y}}\). После умножения множители \(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\) и \(\sqrt{\frac{x}{y}}\) сокращаются.

Ответ: \(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\).