6. Упростите выражение: $ \frac{n!}{(n+1)!} - \frac{(n-1)!}{n!} $

Question

$Фото задания: 6. Упростите выражение: $ \frac{n!}{(n+1)!} - \frac{(n-1)!}{n!} $$ Фото задания

Accepted Answer

Воспользуемся определением факториала: $ (n+1)! = (n+1) × n! $ и $ n! = n × (n-1)! $.

Подставим это в выражение:

$ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{n!}{(n+1) × n!} = \frac{1}{n+1} $

$ \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{(n-1)!}{n × (n-1)!} = \frac{1}{n} $

Теперь вычтем второе из первого:

$ \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} $

Приведём к общему знаменателю $ n(n+1) $:

$ \frac{n}{n(n+1)} - \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{n - n - 1}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} $

Ответ: $\frac{-1}{n(n+1)}$

6. Упростите выражение: \( \frac{n!}{(n+1)!} - \frac{(n-1)!}{n!} \)