6. Упростите выражение: \(\left(\frac{x+1}{\sqrt x}+\frac{1}{x-\sqrt x}-\frac{x}{\sqrt x+1}\right)\cdot\frac{1-x}{1+x}\).

Область допустимых значений: \(x>0\), \(x\ne1\). Обозначим \(t=\sqrt x\), тогда \(x=t^2\) и \(t>0\).

Выражение в скобках приводим к общему знаменателю \(t(t-1)(t+1)\):

\(\frac{t^2+1}{t}+\frac{1}{t(t-1)}-\frac{t^2}{t+1}=\frac{(t^2+1)(t^2-1)+(t+1)-t^3(t-1)}{t(t-1)(t+1)}\).

Числитель равен \(t^3+t=t(t^2+1)\), поэтому скобки упрощаются до \(\frac{t^2+1}{t^2-1}\). Учитывая \(t^2=x\), получаем:

\(\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1-x}{1+x}=-1\).

Ответ: \(-1\), при \(x>0\) и \(x\ne1\).