№6. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения: \( y = \frac{2}{x} \) и \( y = x - 3,5 \).

Решение:

1. Построение графика функции \( y = \frac{2}{x} \) (гипербола):

• \( k = 2 > 0 \), ветви в I и III четвертях.
• Точки: \( (-2; -1), (-1; -2), (1; 2), (2; 1) \).

2. Построение графика функции \( y = x - 3,5 \) (прямая):

• При \( x = 0 \), \( y = -3,5 \). Точка (0; -3,5).
• При \( y = 0 \), \( x = 3,5 \). Точка (3,5; 0).
• Еще одна точка, например, при \( x = 1 \), \( y = 1 - 3,5 = -2,5 \). Точка (1; -2,5).

3. Нахождение точек пересечения:

Приравниваем уравнения функций:

\[ \frac{2}{x} = x - 3,5 \]\[ 2 = x(x - 3,5) \]\[ 2 = x^2 - 3,5x \]\[ x^2 - 3,5x - 2 = 0 \]

Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[ 2x^2 - 7x - 4 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5 \]

Найдем соответствующие значения \( y \) для каждой точки пересечения:

• Если \( x = 4 \), то \( y = 4 - 3,5 = 0,5 \). Точка (4; 0,5).
• Если \( x = -0,5 \), то \( y = -0,5 - 3,5 = -4 \). Точка (-0,5; -4).

Ответ: Точки пересечения графиков: (4; 0,5) и (-0,5; -4).