6. В окружности с радиусом 6 см проведён диаметр и на нём отмечена точка А на расстоянии 3 см от центра. Найти радиус окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается первой окружности.

Краткое пояснение:

Для решения задачи необходимо использовать свойства касательных и радиусов, а также теорему Пифагора. Центр искомой окружности будет лежать на диаметре, так как она касается его в точке А. Расстояние от центра большой окружности до точки касания с малой равно разности радиусов.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим центр большой окружности как О, её радиус как R = 6 см. Диаметр проходит через О.
2. Шаг 2: Точка А находится на расстоянии 3 см от центра О.
3. Шаг 3: Пусть новая окружность имеет центр О1 и радиус r. Поскольку она касается диаметра в точке А, центр О1 лежит на диаметре, а расстояние от О1 до А равно r.
4. Шаг 4: Точка А лежит между О и концом диаметра, так как расстояние от О до А (3 см) меньше радиуса (6 см).
5. Шаг 5: Расстояние от центра О до центра О1 равно |OA - r| или |OA + r|. Так как окружность касается диаметра в точке А, то центр О1 находится на расстоянии r от точки А.
6. Шаг 6: О1 находится на прямой, проходящей через О и А. Расстояние от О до О1 равно |6 - r|.
7. Шаг 7: Поскольку малая окружность касается большой изнутри, расстояние между их центрами равно разности их радиусов: $$OO_1 = R - r$$.
8. Шаг 8: У нас есть два выражения для $$OO_1$$: $$OO_1 = |OA - r| = |3 - r|$$ и $$OO_1 = R - r = 6 - r$$.
9. Шаг 9: Приравниваем: $$|3 - r| = 6 - r$$.
10. Шаг 10: Рассматриваем два случая для абсолютного значения:
• Случай 1: $$3 - r = 6 - r$$. В этом случае $$3 = 6$$, что невозможно.
• Случай 2: $$-(3 - r) = 6 - r$$, то есть $$r - 3 = 6 - r$$.
11. Шаг 11: Решаем уравнение $$r - 3 = 6 - r$$:
• $$2r = 9$$
• $$r = 4.5$$ см.

Ответ: 4.5 см