6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB, угол ACD = 21°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Так как AB ∥ CD, угол между AC и AB равен ∠ACD = 21°. В треугольнике ABC обозначим AB = a, тогда AC = 2a. По теореме синусов угол ABC, лежащий напротив AC, удовлетворяет условию sin ∠ABC = 2 sin 21°.

Однако 2 sin 21° < 1, поэтому возможны два значения: ∠ABC ≈ 44.1° или ∠ABC ≈ 135.9°. По рисунку параллелограмм наклонён так, что треугольник ABC имеет тупой угол при B; выбираем ∠ABC ≈ 135.9°.

Тогда ∠BAC = 180° − 135.9° − 21° ≈ 23.1°. Диагонали AC и BD образуют с AB углы соответственно 23.1° и 180° − 135.9° = 44.1° по разные стороны, поэтому острый угол между ними ≈ 23.1° + 44.1° = 67.2°.

Ответ: примерно 67.2°.