№ 6. В параллелограмме ABCD точка E лежит на BC, EC = 5, AB = 7, AE = 20. AE — биссектриса угла BAD; ED ⟂ AD; ∠AED = 60°. Найдите ED, ∠BEA, BE и площадь S_ABCD.

Данные на рисунке противоречат друг другу, поэтому единого решения, удовлетворяющего всем условиям, нет.

Из ED ⟂ AD и ∠AED = 60° следует, что в треугольнике AED угол EAD равен 30°. Поскольку AE — биссектриса, ∠BAE тоже равен 30°. В параллелограмме ∠ABE = 60°, поэтому ∠BEA = 90°. Тогда из треугольника ABE следует \(BE=AB=7\).

Следовательно, \(AD=BC=BE+EC=7+5=12\). В прямоугольном треугольнике AED с углом A, равным 30°, получаем \(ED=AD\tan30^\circ=4\sqrt3\), а \(AE=AD/\cos30^\circ=8\sqrt3\), что не равно указанным 20. Площадь по этим согласующимся данным равна \(S_{ABCD}=AB\cdot AD\sin60^\circ=42\sqrt3\).

Итак, значения ED = 4√3, ∠BEA = 90°, BE = 7 и S_ABCD = 42√3 согласуются с остальными геометрическими условиями, но подразумевают AE = 8√3, а не AE = 20.