№ 8. В параллелограмме ABCD: AD = 12, OC = 10, диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке O, ∠CAD = 30°. Найдите OD, BD, AC и площадь S_ABCD.

Данные противоречат друг другу: в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит OA = OC = 10. В прямоугольном треугольнике AOD с AD = 12 тогда \(\cos\angle CAD=OA/AD=10/12=5/6\), а это не равно \(\cos30^\circ=\sqrt3/2\).

Если использовать длины AD = 12 и OC = 10 вместе с перпендикулярностью диагоналей, то \(OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{144-100}=2\sqrt{11}\). Поэтому \(BD=2OD=4\sqrt{11}\), \(AC=2OC=20\), а площадь равна \(S_{ABCD}=AC\cdot BD/2=40\sqrt{11}\).

Эти результаты удовлетворяют данным о длинах и перпендикулярности диагоналей, но не условию ∠CAD = 30°. Следовательно, одновременно выполнить все условия задачи нельзя.