6. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD, CH — перпендикуляр к прямой BE. Докажите, что отрезок DH равен одной из сторон параллелограмма.

Пусть \(E=(0,0)\), а прямая \(BE\) — ось абсцисс. Обозначим \(A=(-u,v)\), тогда, поскольку \(E\) — середина \(AD\), \(D=(u,-v)\). Пусть \(B=(p,0)\).

Так как в параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(2u,-2v)\), имеем \(C=(p+2u,-2v)\).

Точка \(H\) — проекция \(C\) на ось абсцисс, поэтому \(H=(p+2u,0)\). Тогда \(\overrightarrow{DH}=(p+u,v)=\overrightarrow{AB}\), следовательно, \(DH=AB\).

Ответ: \(DH=AB\).