6*. В параллелограмме BCDE биссектриса угла D пересекает сторону BC в точке М, причём BM = 7, MC = 10. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Пусть DM — биссектриса угла D в параллелограмме BCDE.

Биссектриса DM делит угол D на два равных угла: \( \angle BDM = \angle MDC \).

Так как BCDE — параллелограмм, то BC || DE и CD || BE.

Рассмотрим параллельные прямые CD и BE, пересеченные секущей DM. Углы \( \angle CDM \) и \( \angle CMB \) являются накрест лежащими, поэтому \( \angle CDM = \angle CMB \).

Из равенства углов \( \angle BDM = \angle MDC \) и \( \angle MDC = \angle CMB \) следует, что \( \angle BDM = \angle CMB \).

Теперь рассмотрим треугольник BDM. Углы \( \angle BDM \) и \( \angle BMD \) равны (так как \( \angle BDM = \angle CMB \), а \( \angle CMB = \angle BMD \) как вертикальные).

Таким образом, \( \angle BDM = \angle BMD \). Треугольник BDM равнобедренный с основанием BM.

Следовательно, \( BD = BM = 7 \).

Стороны параллелограмма BCDE равны BE и BC.

\( BC = BM + MC = 7 + 10 = 17 \).

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому \( BE = CD = 17 \).

Также, противолежащие стороны равны, значит \( DE = BC = 17 \).

Периметр параллелограмма BCDE равен \( P = 2(BC + CD) = 2(17 + 17) = 2(34) = 68 \).

Ответ: 68.