6. В первой смене в лагере отдыхали 1575 человек, а во второй — 400 человек. Какое наибольшее количество человек могло быть в отряде, если в обеих сменах в каждом отряде было одинаковое количество человек?

Число человек в отряде должно быть общим делителем 1575 и 400. Наибольшее возможное число — их наибольший общий делитель.

По алгоритму Евклида: \(1575=3\cdot400+375\), \(400=375+25\), а \(375=15\cdot25\). Следовательно, \(\text{НОД}(1575,400)=25\).

Проверка: \(1575:25=63\), \(400:25=16\), то есть обе смены можно разделить на отряды по 25 человек.

Ответ: 25 человек.