6. В равнобедренной трапеции меньшая основа равна боковой стороне. Большая основа трапеции равна 12 см, угол при основании равен 30°. Найдите длину диагонали трапеции.

Обозначим боковую сторону и меньшую основу через \(x\). Проекция каждой боковой стороны на большую основу равна \(x\cos30°\). Поэтому разность оснований равна \(2x\cos30°=x\sqrt{3}\).

Составим уравнение для оснований: \(12-x=x\sqrt{3}\). Отсюда \(x=\frac{12}{1+\sqrt{3}}=6(\sqrt{3}-1)\).

Высота трапеции равна \(x\sin30°=\frac{x}{2}=3(\sqrt{3}-1)\). Горизонтальная проекция диагонали, проведённой от конца большой основы к противоположному концу меньшей, равна \(12-x\cos30°=12-3(3-\sqrt{3})=3(1+\sqrt{3})\).

По теореме Пифагора квадрат диагонали равен:

\([3(1+\sqrt{3})]^2+[3(\sqrt{3}-1)]^2=72\).

Следовательно, длина диагонали равна \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) см.

Ответ: \(6\sqrt{2}\) см.